Ejemplo 2º:

Dibujar la gráfica de

1. Hay varios apartados:
" Cortes con los ejes: Si hacemos Es decir, la gráfica pasa por el punto (0,-2).

Si hacemos y como esta ecuación no tiene soluciones reales resulta que no existen puntos de corte con el eje de abcisas.
" Dominio: Será todo R excepto en los puntos en los que se anula el denominador, x=2 , es decir, R-{2}.
" Asíntotas:
1. Verticales: x=p es una asíntota vertical si . Esto quiere decir que, las únicas asíntotas posibles serían en aquellos puntos en los que se anulara el denominador. Serían x=2.

Ahora tenemos que comprobar que son asíntotas: Luego x=2 es una asíntota.

2. Horizontales: y=t es una asíntota horizontal si . Es decir, no hay asíntotas horizontales.
3. Oblicuas: Si la recta y=ax+b es una asíntota de la función entonces

 

Lo que quiere decir que, tenemos una asíntota oblicua en y=x

" Simetrías: Comprobamos .
Es decir, la función no es simétrica ni respecto al eje de ordenadas ni respecto al origen.

 

2. Hay varios apartados:
" Puntos que anulen la primera derivada: . Luego el punto en el que se anula la primera derivada es el (0,-2) y en el punto (4,6).
" Puntos que anulen la segunda derivada: No se anula nunca y por tanto no tiene puntos de inflexión.

3. Hay varios apartados:
" Si sustituimos el valor x=0 de en la segunda derivada tenemos Lo que nos quiere decir que estamos ante un máximo.
Si sustituimos el valor x=4 de en la segunda derivada tenemos Es decir, un mínimo.

 

 

" El denominador de la primera derivada siempre es positivo y sólo se anula en el punto x=2, luego para estudiar el crecimiento decrecimiento de la función sólo nos tenemos que fijar en el numerador, y tener en cuenta que la función no existe en el punto x=2. Veamos el siguiente diagrama:

		(0,4)
x	-	+	+
x-4	-	-	+
x(x-4)	+	-	+

En el intervaloU la función crece, pues en estos intervalos f'(x)>0.
En el intervalo (0,4) la función decrece, pues en estos intervalos f'(x)<0.
Como se puede ver la función en el punto (0,-2) ha pasado de crecer a decrecer, lo que quiere decir que estamos ante un máximo, y en el punto (4,6) ha pasado de decrecer a crecer, lo que quiere decir que estamos ante un mínimo; como ya habíamos visto (¿más fácil que obtener la segunda derivada?).
" Si observamos la segunda derivada vemos que el numerador es siempre positivo, por lo que para estudiar la concavidad sólo tenemos que centrarnos en el denominador. El denominador es negativo si .

Luego en el intervalo la derivada segunda f''(x)<0 Cóncava hacia abajo.
Y en el intervalo la derivada segunda f''(x)>0 Cóncava hacia arriba.

4. Ahora ordenamos los resultados para dibujarlos:

Puntos de corte con los ejes: (0,-2) Máximo

Dominio: R-{2}

Asíntotas: x=2; y=x

Puntos Críticos: (0,-2)Máximo y (4,6)Mínimo

Crecimiento y decrecimiento: Decrece en (0,4)Crece en U

Concavidad: Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

Dibujamos la gráfica:

 

Resolvemos el ejemplo con Derive: PULSAR