Ejemplo 2

Ejemplo 2:

Dibujar la gráfica de

1. Hay varios apartados:

· Cortes con los ejes: Si hacemos Es decir, la gráfica pasa por el punto .

Si hacemos y como esta ecuación no tiene soluciones reales resulta que no existen puntos de corte con el eje de abcisas.

· Dominio: Será todo excepto en los puntos en los que se anula el denominador, .

Es decir, el dominio será

· Asíntotas:

1. Verticales: es una asíntota vertical si . Esto quiere decir que, las únicas asíntotas posibles serían en aquellos puntos en los que se anulara el denominador. Serían .

Ahora tenemos que comprobar que son asíntotas:

Luego es una asíntota.

2. Horizontales: es una asíntota horizontal si . Es decir, no hay asíntotas horizontales.

3. Oblicuas: Si la recta es una asíntota de la función entonces y

Lo que quiere decir que, tenemos una asíntota oblicua en

· Simetrías: Comprobamos .

Es decir, la función no es simétrica ni respecto al eje de ordenadas ni respecto al origen.

2. Hay varios apartados:

· Puntos que anulen la primera derivada:

. Luego el punto en el que se anula la primera derivada es el y en el punto

· Puntos que anulen la segunda derivada:

No se anula nunca y por tanto no tiene puntos de inflexión.

3. Hay varios apartados:

· Si sustituimos el valor de en la segunda derivada tenemos Lo que nos quiere decir que estamos ante un máximo.

Si sustituimos el valor de en la segunda derivada tenemos Es decir, un mínimo.

· El denominador de la primera derivada siempre es positivo y sólo se anula en el punto , luego para estudiar el crecimiento decrecimiento de la función sólo nos tenemos que fijar en el numerador, y tener en cuenta que la función no existe en el punto . Veamos el siguiente diagrama:

En el intervalo la función crece, pues en estos intervalos.

En el intervalo la función decrece, pues en estos intervalos.

Como se puede ver la función en el punto ha pasado de crecer a decrecer, lo que quiere decir que estamos ante un máximo, y en el punto ha pasado de decrecer a crecer, lo que quiere decir que estamos ante un mínimo; como ya habíamos visto (¿más fácil que obtener la segunda derivada?).

· Si observamos la segunda derivada vemos que el numerador es siempre positivo, por lo que para estudiar la concavidad sólo tenemos que centrarnos en el denominador. El denominador es negativo si .