Ejemplo 1º:
 

 

Dibujar la gráfica de

1. Hay varios apartados:
" Cortes con los ejes: Si hacemos Es decir, la gráfica pasa por el punto .

Si hacemos(en estos puntos el denominador no se anula). Es decir la gráfica pasaría por los puntos (3,0) y (-3,0).
" Dominio: Será todo R excepto en los puntos en los que se anula el denominador, .Es decir, el dominio será
" Asíntotas:
1. Verticales: x=p es una asíntota vertical si . Esto quiere decir que, las únicas asíntotas posibles serían en aquellos puntos en los que se anulara el denominador. Serían x=2 y x=-2.

Ahora tenemos que comprobar que son asíntotas:

Luego x=2 es una asíntota.

Luego x=-2 es una asíntota.

2. Horizontales: y=t es una asíntota horizontal si . Es decir, la recta y=2 es una asíntota horizontal.
3. Oblicuas: Si hay asíntotas horizontales no hay Oblicuas

Si la recta y=ax+b es una asíntota de la función entonces
No existen asíntotas oblicuas.

" Simetrías: Comprobamos que .
Es decir, la función es simétrica respecto al eje de ordenadas.

2. Hay varios apartados:
" Puntos que anulen la primera derivada: . Luego el punto en el que se anula la primera derivada es el
" Puntos que anulen la segunda derivada: No se anula nunca y por tanto no tiene puntos de inflexión.

3. Hay varios apartados:
" Si sustituimos el valor de x=0 en la segunda derivada tenemos Lo que nos quiere decir que estamos ante un mínimo.
" El denominador de la primera derivada siempre es positivo, luego para estudiar el crecimiento decrecimiento de la función sólo nos tenemos que fijar en el numerador, que será positivo cuando x>0 y será negativo cuando x<0. Resumiendo tendríamos que:
En el intervalo la función decrece , pues en estos intervalos f'(x)<0.
En el intervalo la función crece, pues en estos intervalos f'(x)>0.
Como se puede ver la función en el punto (0,9/2) ha pasado de decrecer a crecer, lo que quiere decir que estamos ante un mínimo, como ya habíamos visto (¿más fácil que obtener la segunda derivada?).
" Si observamos la segunda derivada vemos que el numerador es siempre positivo, por lo que para estudiar la concavidad sólo tenemos que centrarnos en el denominador. El denominador es negativo si , luego es fácil de comprobar lo siguiente:

 

		(-2,2)
x-2	-	-	+
x+2	-	+	+
f''(x)	-	+	-

Luego en los intervalos y la derivada segunda f''(x)<0 Cóncava hacia abajo.
Y en los intervalos (-2,2) la derivada segunda f''(x)>0 Cóncava hacia arriba.

4. Ahora ordenamos los resultados para dibujarlos:

Puntos de corte con los ejes: (3,0), (-3,0), (0,9/2) Mínimo
 

Dominio:

Asíntotas: x=2, x=-2, y=2

Crecimiento y decrecimiento: Decrece en Crece en
Concavidad: Cóncava hacia abajo y Cóncava hacia arriba (-2,2)
Dibujamos la gráfica:

 

Resolvemos el ejemplo con Derive: PULSAR