Ejemplo 1:

Dibujar la gráfica de  

1.      Hay varios apartados:

·         Cortes con los ejes:   Si hacemos  Es decir, la gráfica pasa por el punto .

Si hacemos  (en estos puntos el denominador no se anula). Es decir la gráfica pasaría por los puntos  y

·         Dominio: Será todo  excepto en los puntos en los que se anula el denominador, .Es decir,               el dominio será

·         Asíntotas:

1.      Verticales:   es una asíntota vertical si . Esto quiere decir que, las únicas asíntotas posibles serían en aquellos puntos en los que se anulara el denominador.  Serían  y .

Ahora tenemos que comprobar que son asíntotas:

   Luego    es una asíntota.

   Luego  es una asíntota.

2.      Horizontales:    es una asíntota horizontal si  . Es decir, la recta  es una asíntota horizontal.

3.      Oblicuas:  Si la recta  es una asíntota de la función entonces   y

             No existen asíntotas oblicuas.

·         Simetrías: Comprobamos que .

                              Es decir,  la función es simétrica respecto al eje de ordenadas.

2.      Hay varios apartados:

·         Puntos que anulen la primera derivada:

            . Luego el punto en el que se anula la primera derivada es el  

·         Puntos que anulen la segunda derivada:

            No se anula nunca y por tanto no tiene puntos de inflexión.

3.      Hay varios apartados:

·         Si sustituimos el valor de  en la segunda derivada tenemos    

 Lo que nos quiere decir que estamos ante un mínimo.

·         El denominador de la primera derivada siempre es positivo, luego para estudiar el crecimiento decrecimiento de la función sólo nos tenemos que fijar en el numerador, que será positivo cuando  y será negativo cuando  . Resumiendo tendríamos que:

En el intervalo   la función decrece, pues  en estos intervalos.

En el intervalo  la función crece, pues    en estos intervalos.

Como se puede ver la función en el punto    ha pasado de decrecer a crecer, lo que quiere decir que estamos ante un mínimo, como ya habíamos visto (¿más fácil que obtener la segunda derivada?).

·        Si observamos la segunda derivada vemos que el numerador es siempre positivo, por lo que para estudiar la concavidad sólo tenemos que centrarnos en el denominador. El denominador es negativo si , luego es fácil de comprobar lo siguiente:

            Luego en los intervalos  y  la derivada segunda  Cóncava hacia abajo.

            Y en los intervalos  la derivada segunda  Cóncava hacia arriba.

4.      Ahora ordenamos los resultados para dibujarlos:

Puntos de corte con los ejes:

                                                   ,   yMínimo

Dominio:     

Asíntotas:           

Crecimiento y decrecimiento:     Decrece en

                                                      Crece en 

Concavidad:    Cóncava hacia abajo  y

                         Cóncava hacia arriba 

Dibujamos la gráfica:

Resolvemos el ejemplo con Derive: PULSAR