Ejemplo:

Dibujar la gráfica de

1. Hay varios apartados:
" Cortes con los ejes:

Si hacemos Es decir, la gráfica no corta al eje de ordenadas.

Si hacemos , pero la ecuación no tiene soluciones reales, luego el único punto de corte con el eje de abcisas sería en x=2, es decir, el (2,0).
" Dominio: Será todo R excepto en los puntos en los que se anula el denominador, en x=0. Es decir, el dominio será R-{0}
" Asíntotas:
1. Verticales: x=p es una asíntota vertical si . Esto quiere decir que, las únicas asíntotas posibles serían en aquellos puntos en los que se anulara el denominador. Sería en x=0.

Ahora tenemos que comprobar si es asíntota:

Luego x=0 es una asíntota.

2. Horizontales: y=t es una asíntota horizontal si . Es decir, no hay asíntotas horizontales.
3. Oblicuas: Si la recta y=ax+b es una asíntota de la función entonces

Luego existe una asíntota oblicua que es la recta y=-x+1

" Simetrías: Comprobamos que .
Es decir, la función no tiene simetrías.

2. Hay varios apartados:
" Puntos que anulen la primera derivada: . Luego el punto en el que se anula la primera derivada es el (-2,4).
" Puntos que anulen la segunda derivada: . No se anula nunca y por tanto no tiene puntos de inflexión.

3. Hay varios apartados:
" Si sustituimos el valor x=-2 en la segunda derivada tenemos f''(-2)=24/16>0 Lo que nos quiere decir que estamos ante un mínimo.
" Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento nos basamos en el signo de la derivada primera, y para su estudio nos vamos a apoyar en el siguiente diagrama, teniendo en cuenta que

		(-2,0)
x+2	-	+	+
x	-	-	+
	+	-	+
f'(x)	-	+	-

 

En el intervalo la función decrece, pues en estos intervalos f'(x)<0.
En el intervalo (-2,0) la función crece, pues en este intervalo f'(x)>0.
Como se puede ver la función en el punto (-2,4) ha pasado de decrecer a crecer, lo que quiere decir que estamos ante un mínimo, como ya habíamos visto (¿más fácil que obtener la segunda derivada?).
" Si observamos la segunda derivada vemos que el numerador es siempre positivo, por lo que para estudiar la concavidad sólo tenemos que centrarnos en el denominador. El denominador es siempre positivo, , luego la segunda derivada es siempre positiva, salvo en los puntos en los que no exista, es decir en x=0

Luego en R-{0} la derivada segunda f''(x)>0 y es Cóncava hacia arriba.

4. Ahora ordenamos los resultados para dibujarlos:

Puntos de corte con los ejes: (2,0)

Dominio: R-{0}

Asíntotas: x=0, y=-x+1

Crecimiento y decrecimiento: Decrece en Crece en (-2,0)
Concavidad: Cóncava hacia arriba en R-{0}

Dibujamos la gráfica:

 

Resolvemos el ejemplo con Derive: PULSAR