Ejemplo 7:

Dibujar la gráfica de  

1.      Hay varios apartados:

·         Cortes con los ejes:   Si hacemos  Es decir, la gráfica pasa por el punto

Si hacemos . Es decir la gráfica pasaría por el punto   Nos limitamos a los ángulos propios. El ángulo  no vale, porque también anula el denominador.

Esto sería por la parte positiva  del eje de abcisas, por la parte negativa sería:

·         Dominio: Será todo  excepto en los puntos en los que se anula el denominador, .

                              Y por la parte negativa será   

      Es decir, el dominio será

·         Asíntotas:

1.      Verticales:   es una asíntota vertical si . Esto quiere decir que, las únicas asíntotas posibles serían en aquellos puntos en los que se anulara el denominador.  Serían  .

Ahora tenemos que comprobar que son asíntotas:

  Luego    es una asíntota .

                                                            Luego    es una asíntota .

2.      Horizontales:    es una asíntota horizontal si  . Es decir, no hay asíntotas horizontales.

3.      Oblicuas:  Si la recta  es una asíntota de la función entonces   y

             No existen asíntotas oblicuas.

·         Simetrías: Comprobamos que .

                              Es decir,  la función no tiene simetrías.

2.      Hay varios apartados:

·         Puntos que anulen la primera derivada:

            . Luego la primera derivada no se anula nunca.

·         Puntos que anulen la segunda derivada:

            . La solución  no nos vale porque anula el denominador, y ya      hemos visto que se trata de una asíntota. Por tanto en los puntos  la función tiene los puntos de inflexión.

3.      Hay varios apartados:

·         El numerador de la primera derivada siempre es negativo, luego para estudiar el crecimiento decrecimiento de la función sólo nos tenemos que fijar en el denominador, que será  siempre positivo pues  .Resumiendo tendríamos que:

La función es siempre decreciente salvo en los puntos en los que no existe.

Como se puede ver la función en los puntos    pasa de decrecer a decrecer, lo que quiere decir que estamos ante puntos de inflexión, como ya habíamos visto (¿más fácil que obtener la segunda derivada?).

·        Si observamos la segunda derivada vemos que el denominador es siempre positivo, por lo que para estudiar la concavidad sólo tenemos que centrarnos en el numerador. El numerador es negativo si , es decir, cóncava hacia abajo, y será positivo si , es decir, cóncava hacia arriba.

            Luego en el segundo y tercer cuadrante  la derivada segunda  Cóncava hacia abajo.

            Y en el primer y cuarto cuadrante la derivada segunda  Cóncava hacia arriba.

4.      Ahora ordenamos los resultados para dibujarlos:

Puntos de corte con los ejes:      _{,  , .}

Dominio:   

Asíntotas:          

Crecimiento y decrecimiento:     Decrece en   

Concavidad:    Cóncava hacia abajo 2º y 3º cuadrante

                         Cóncava hacia arriba  1º y 4º cuadrante

Dibujamos la gráfica:

Resolvemos el ejemplo con Derive: PULSAR